CALCULO ITC

1.1 LA RECTA REAL
El primer capitulo sienta las bases del estudio del calculo. Exige como prerrequisitos el álgebra básica y la geometría analítica. Un buen manejo practico del álgebra básica es fundamental para estudiar calculo y supondremos que el lector lo posee. En cuanto a la geometría analítica, suponemos menor familiaridad con ella y discutiremos sus conceptos básicos cuando aparezcan.

Los números reales se pueden representar en una recta numérica, como se muestra a continuación.

El origen se identifica con el punto cero, cada punto a la derecha de cero representa un número positivo, (natural, entero, racional o irracional); cada punto a la izquierda de cero sobre la horizontal representa un número negativo (entero, racional o irracional).

La recta real se recorre de izquierda a derecha. Sobre la recta real podemos identificar un orden, ya que podemos establecer quién está a la izquierda o quién a la derecha de un punto de referencia.

Cada vez que queremos ubicar un número real sabemos quiénes están cerca, en qué parte se ubica o cómo visualizarlo en la recta real; todo esto gracias al ordenamiento que siguen los números reales.

Dados dos números reales a y b, se dice que a es menor que b a<b si b-a es positivo; es decir, b-a>0. Gráficamente:

Dados dos números reales a y b, se dice que a es menor que b (a<b), si b está a la derecha de a en la recta real.

El conjunto de los números reales se conoce como un cuerpo ordenado porque para cada para de números reales a,b se cumple una de las siguientes:

a<b ó
b<a ó
a=b

Lo anterior se conoce como Tricotomía de los números reales.

Transitividad: Si a<b y b<c, entonces a<c.

Suma de Desigualdades: Si a<b y c<d, entonces a+c<b+d.

Conservación: Si a<b y z>0, entonces az<bz.

Definición:

Se dice que a es menor o igual que b si se cumple la desigualdad estricta o la igualdad.

El orden de los reales define los diferentes tipos de intervalos:

Intervalo abierto:

Intervalo cerrado:

Intervalo semi abierto a derecha:

Intervalo semi cerrado a derecha:

e conoce como el valor absoluto de un nùmero a al valor positivo de a, es decir:

Propiedades:

Cualquier número a tiene su representación en la recta real. El valor absoluto de un número representa la distancia desde ese número al origen.

Observe en el dibujo que la distancia del 6 al origen es 6 unidades, igualmente la distancia del punto −6 al origen es 6. En notación, esto es |−6| = 6 .

Las barras se leen como el valor absoluto de lo que esta dentro de ellas.

En el valor absoluto no importa en que lado de la recta real está representado el número.

De modo general, el valor absoluto de un número real a , se escribe |a| , es el mismo número a cuando es positivo o cero , y opuesto de a , si a es negativo .

Analíticamente podemos ver que si a es positivo, es decir esta a la derecha del cero, entonces |a| = a y si está a la izquierda del origen, es decir si a es negativo, entonces | a| = −a .

Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real |a| está definido por:

Por definición, el valor absoluto de |a| siempre será mayor o igual que ceroy nunca negativo.

Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real |a| es siempre positivo o cero, pero nunca negativo.

En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales |a − b| es la distancia entre ellos.

Veamos los siguientes ejemplos

Ejemplo 1

Observe como el valor absoluto a una cantidad positiva la deja igual y a una cantidad negativa le cambia el signo.

c) Si x > 2 entonces | x – 2| = x – 2 , pues x − 2 > 0 . Dicho de otra manera, si la expresión a la que le estamos tomando valor absoluto es de signo positivo, el valor absoluto la deja igual.

d) Si x < 2 entonces |x – 2| = – (x – 2) , pues x − 2 < 0 . Dicho de otro modo, si la expresión a la que le estamos tomando valor absoluto es de signo negativo, el valor absoluto la cambia de signo.

Ecuaciones con valor absoluto

Si x es una incógnita en la expresión |x − 3| , entonces no sabemos si x − 3 es positivo o negativo. Ahora bien, si tenemos la ecuación:

|x − 3| = 5

deberíamos considerar las dos posibilidades de signo. Es decir hay dos alternativas:

x − 3 = 5

o bien

x − 3 = −5
La primera es en el caso de que x − 3 sea positivo, la segunda en la situación de que sea negativo.

Resolviendo las dos ecuación, tenemos que

x = 8 o bien x = −2

Efectivamente, estos valores de x satisfacen la ecuación: |x − 3| = 5

Veamos más ejemplos de resolución de ecuaciones en valor absoluto

Resolver |x − 4| = 3

Hay dos posibilidades: x − 4 = 3 o bien x − 4 = −3 .

Las soluciones de ellas son 7 y 1 .

Veamos:

x − 4 = 3

x = 3 + 4

x = 7

o bien

x − 4 = −3

x = −3 + 4

x = 1

Resolver 3 |5 − 4x| = 9

Veamos:

Hasta ahora, sabemos resolver una ecuación con valor absoluto cuando el valor absoluto se presenta en el lado izquierdo, así es que lo llevamos a esta forma, dividiendo entre 3 ambos miembros de la ecuación: