Funciones exponenciales y derivación 

Sabemos que  e es un número irracional, pues e = 2.718281828... La notación epara este número fue dada por Leonhard Euler (1727). La función f(x) = ex   es una función exponencial natural. Como 2<e<3, la gráfica de f(x) = ex está entre f(x) = 2x y f(x) = 3x, como se ilustra a la izquierda.

 Como e > 1, la función f(x) = e^x es una función creciente. El dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es el conjunto de los números reales positivos.

Las calculadoras científicas contienen una tecla para la función f(x) = e^x. Geométricamente la pendiente de la gráfica de f(x) = e^x en cualquier punto (x,e^x) es igual a lacoordenada y de ese punto.  Por ejemplo, en la gráfica de f(x) = e^x  en el punto (0,1) la pendiente es 1.

 Reglas para la derivación de funciones exponenciales:

 Ejemplos:

   a)  Si    ®   

   c)  Si    ®     

   b)  Si    ®   

   d)  Si     ®    

   e)  Si    ®     

Ejercicios: Deriva cada una de las siguientes funciones:

1)    f(x) = e^2x

3)  

4)    g(x) = (e ^–x + e ^x)³

5)    y = x² e^-x

6)    y = x² e^x – 2x e^x + 2 e^x

7)    f(x) = 4^x

8)    g(x) = 5 ^{x – 2}

9)    h(x) = 2e ^{x + 1}

10)   f(x) = 4 ^{–x + !}

Respuestas:

1)   f’(x) = 2e^2x

3)  

4)   g’(x) = 3(e^x – e^-x)(e^-x + e^x)²

5)   y’ = -xe^-x(x – 2)

6)   y’ = x² e^x

7)   f’(x) = (ln 4) 4^x

8)   y’ = (ln 5) 5^{x – 2}

9)   h’(x) = 2e ^x+1

10) f’(x) = -(ln 4) 4 ^{–x + 1}