Funciones parte 2:
podras practicar el Dominio en el siguiente enlace
http://www.vitutor.com/fun/2/a_2_e.html

3. gráfica de las  funciones

Si f es una función real, a cada par (x, y) = (x, f(x)) determinado por la función f le corresponde en el plano cartesiano un único punto P(x, y) = P(x, f(x)). El valor de x debe pertenecer al dominio de definición de la función.

Como el conjunto de puntos pertenecientes a la función es ilimitado, se disponen en una tabla de valores algunos de los pares correspondientes a puntos de la función. Estos valores, llevados sobre el plano cartesiano, determinan puntos de la gráfica. Uniendo estos puntos con línea continua se obtiene la representación gráfica de la función.

x	1	2	3	4	5
f(x)	2	4	6	8	10

Grafo de una función

Grafo de una función es el conjunto de pares formados por los valores de la variable y sus imágenes correspondientes.

G(f) = {x, f(x) /x ∈ D(f)}

Sistema de coordenadas cartesianas

Un sistema de coordenadas cartesianas es un par de rectas graduadas, perpendiculares, que se cortan en un punto O(0,0), llamado origen de coordenadas. A la recta horizontal se llama eje de abscisas, y a su perpendicular por O, eje de ordenadas.

Se puede representar una función en el plano haciendo corresponder a cada par del grafo un punto determinado, marcando en el eje de abscisas el valor de su variable y en el de ordenadas, su correspondiente imagen.

PRACTICA:

http://www.vitutor.com/fun/2/a_3_e_1.html

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES:

Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la 2ª esté incluido en el recorrido de la 1ª, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)].

Veamos un ejemplo con las funciones f(x) = 2x y g(x) = 3x + 1.

(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1

(g o f) (1) = 6 · 1 + 1 = 7

Ejemplos

1Sean las funciones:

1Calcular (f o g) (x)

2Calcular (g o f) (x)

2

1

2

3

1

2

Dominio de la composición de funciones

D_(g o f) = {x ∈ D_f / f(x) ∈ D_g}

Propiedades de la composición de funciones

1. Asociativa:

f o (g o h) = (f o g) o h

2. No es conmutativa.

f o g ≠ g o f

3. El elemento neutro es la función identidad, i(x) = x.

f o i = i o f = f

Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f⁻¹ que cumple que:

Si f(a) = b, entonces f⁻¹(b) = a.

Veamos un ejemplo a partir de la función f(x) = x + 4

Podemos observar que:

El dominio de f⁻¹ es el recorrido de f.

El recorrido de f⁻¹ es el dominio de f.

Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.

Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad.

(f o f⁻¹) (x) = (f⁻¹ o f) (x) = x

Las gráficas de f y f^-1 son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Hay que distinguir entre la función inversa, f⁻¹(x), y la inversa de una función, .

Cálculo de la función inversa

1.Se escribe la ecuación de la función con x e y.

2.Se despeja la variable x en función de la variable y.

3.Se intercambian las variables.

Ejemplos

Calcular la función inversa de:

1. 

Vamos a comprobar el resultado para x = 2

2. 

3. 

FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES:

El incremento de una función se llama tasa de variación, y mide el cambio de la función al pasar de un punto a otro.

t.v.= f(x+h) - f(x)

Función estrictamente creciente

f es estrictamente creciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:

La tasa de variación es positiva.

Función creciente

f es creciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:

La tasa de variación es positiva o igual a cero.

Función estrictamente decreciente

f es estrictamente decreciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:

La tasa de variación es negativa.

Función decreciente

f es decreciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:

La tasa de variación es negativa o igual a cero.

BIBLIGRAFIA:

http://www.vitutor.com/fun/2/a_5.html