FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Y DERIVACIÓN

distintos en [- 1, 1].

la función seno. En estas condiciones se puede definir la aplicación inversa de f(x) = sen x, llamada «arco-seno» y que se simboliza por arc sen x.

       

        

                  

        

        x ¾¾® f (x) = sen x ¾¾® f^-1 [f (x)] = f^-1 (sen x) = arc sen (sen x) = x         

 Derivada de la función arc sen x

Si y = arc sen x = f^{- 1}(x), aplicando f, f(y) = f(f^{- 1}(x)) = x, es decir, sen y = x.

De la conocida fórmula sen² y + cos² y = 1, cos² y = 1 - sen² y  ®

 

                           

 Derivada de la función arc cos x

Análogamente, la función cos x tiene una función inversa llamada «arco-coseno» y se simboliza por arc cos x.

De y = arc cos x se deduce x = cos y. Derivando por la regla de la cadena,

                                  

                         

 Derivada de la función arc tg x

La inversa de la función tg x se llama «arco-tangente» y se simboliza por arc tg x.

y = arc tg x,  x = tg y. Derivando por la regla de la cadena,

                          

 Derivada de la función arc cotg x

La inversa de la función cotg x se llama «arco-cotangente» y se simboliza por arc cotg x.

Si y = arc cotg x,  x = cotg y. Derivando esta igualdad por la regla de la cadena,

                          

 Derivada de la función arc sec x

Análogamente a los casos anteriores, sec x tiene una función inversa llamada «arco secante» y simbolizada por arc sec x.

y = arc sec x,  x = sec y. Derivando por la regla de la cadena,

                           1 = y' · sec y · tg y = y' · x · tg y  (1)

                              

                                         

                        

 Derivada de la función arc cosec x

Siguiendo los mismos pasos que en el caso anterior,

                              y = arc cosec x,  x = cosec y

Derivando: 1 = - y' · cosec y · cotg y = - y' · x · cotg y  (1)